Webs, curves, and tableaux for maximally inflected quintics in P2

Frank Sottile

space Webs
Legend: The curves all have the same 9 flexes, as points in P^1: [[1, 0], [-11/4, 1], [-5/4, 1], [-7/12, 1], [-1/7, 1], [1/5, 1], [3/5, 1], [6/5, 1], [11/4, 1]].
The webs were generated from the curves as the points where the argument of W21^3/W30 is zero (positive real axis). The flexes, blue, and red dots are points in the domain corresponding to flexes, solitary pioints, and solitary bitangents. It is not hard to see that they lie in the web.
On the webs and curves, the direction of transveral (clockwise) is indicated by the arrow. On both, it starts at the magenta circle; if it is not shown on the curve, that is because it is at infinity and it must be inferred. I mostly checked that both the curve and web give the same tableau.
The solic blue dots indicate solitary points, while the red dots (and dotted red lines) are solitary bitangents. That the difference of the number of solitary points and solitary bitangents is three is a Theorem from real algebraic geometry, which also follows from their being points on the web.
Finally, the dotted green lines connect two conjugate nodes. Depsite appearances, none of the dotted lines passes through a flex or is tangent to the curve.
The numbering of each row is to help us in our discussion. Note that I did not sort these into rotation-equivalence classes.
 1 
 1  2  3 
 4  5  8 
 6  7  9 
 2 
 1  2  4 
 3  5  8 
 6  7  9 
 3 
 1  2  3 
 4  6  8 
 5  7  9 
 4 
 1  2  4 
 3  6  8 
 5  7  9 
 5 
 1  2  5 
 3  6  8 
 4  7  9 
 6 
 1  3  4 
 2  5  8 
 6  7  9 
 7 
 1  2  3 
 4  5  8 
 5  7  9 
 8 
 1  3  4 
 2  6  8 
 5  7  9 
 9 
 1  2  4 
 3  6  7 
 5  8  9 
 10 
 1  2  5 
 3  6  7 
 4  8  9 
 11 
 1  3  5 
 2  6  8 
 4  7  9 
 12 
 1  3  5 
 2  4  8 
 6  7  9 
 13 
 1  2  3 
 4  5  7 
 6  8  9 
 14 
 1  3  4 
 2  6  7 
 5  8  9 
 15 
 1  2  5 
 3  4  8 
 6  7  9 
 16 
 1  2  4 
 3  5  7 
 6  8  9 
 17 
 1  3  6 
 2  4  8 
 5  7  9 
 18 
 1  3  5 
 2  4  7 
 6  8  9 
 19 
 1  2  3 
 4  5  6 
 7  8  9 
 20 
 1  4  5 
 2  6  8 
 3  7  9 
 21 
 1  2  6 
 3  5  7 
 4  8  9 
 22 
 1  4  5 
 2  6  7 
 3  8  9 
 23 
 1  3  6 
 2  5  7 
 4  8  9 
 24 
 1  2  6 
 3  4  8 
 5  7  9 
 25 
 1  2  4 
 3  5  6 
 7  8  9 
 26 
 1  4  6 
 2  5  7 
 3  8  9 
 27 
 1  4  6 
 2  5  8 
 3  7  9 
 28 
 1  2  6 
 3  4  7 
 5  8  9 
 29 
 1  3  6 
 2  5  8 
 4  7  9 
 30 
 1  2  5 
 3  4  7 
 6  8  9 
 31 
 1  2  6 
 3  5  8 
 4  7  9 
 32 
 1  2  5 
 3  4  6 
 7  8  9 
 33 
 1  3  4 
 2  5  7 
 6  8  9 
 34 
 1  3  7 
 2  4  8 
 5  6  9 
 35 
 1  3  5 
 2  4  7 
 6  8  9 
 Needs cyclic descents:
The tableau is ambiguous
given the curve (ascents/descents).
 1  3  5 
 2  6  7 
 4  8  9 
also works
but its evacuation
 1  2  4 
 3  5  6 
 7  8  9 
does not fit the curve
 36 
 1  3  6 
 2  4  7 
 5  8  9 
 37 
 1  3  7 
 2  5  8 
 4  6  9 
 38 
 1  4  7 
 2  5  8 
 3  6  9 
 39 
 1  3  4 
 2  5  6 
 7  8  9 
 40 
 1  2  7 
 3  4  8 
 5  6  9 
 41 
 1  3  5 
 2  4  6 
 7  8  9 
 42 
 1  2  7 
 3  5  8 
 4  6  9