A Geometric Approach to the Combinatorics of Schubert Polynomials
Résumé:
Les polynômes de Schubert, qui sont issus
de la cohomologie des variétés de drapeaux,
ont sucité depuis
quelques temps un grand intérêt en combinatoire algébrique.
Un examen attentif a conduit à l'élucidation de beaucoup de leurs
propriétés. Un problème ouvert fondamental est de trouver
une règle pour multiplier deux polynômes de Schubert,
autrement dit, un analogue de la règle de Littlewood-Richardson.
Notre exposé discutera certains travaux
récents sur ce problème
en faisant appel à des idées provenant de
la géométrie
algébrique, et aussi certaines conséquences de ces travaux pour
la combinatoire du groupe symétrique.
Plus précisément, nous
décrirons une preuve géométrique
d'un analogue de la règle de
Pieri pour les polynômes de Schubert.
Cette règle a été
énoncée dans \cite{Lascoux_Schutzenberger_polynomes_de_schubert},
où une preuve algébrique était suggérée.
L'interpretation
géométrique de cette formule met en évidence un
lien nouveau
et surprenant avec la règle de Littlewood-Richardson, et indique
des extensions possibles de ce résultat.
Bien que notre approche fasse appel à des idées et des
méthodes de
géométrie algébrique, nous
présenterons des preuves qui
n'utilisent guère que de l'algèbre linéaire
élémentaire
(quoique compliquée).